Характеристический многочлен

Пусть $A$ – матрица линейного оператора в $n$-мерном пространстве $V$. Система $(A - \lambda E)x = 0$ имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда $\det(A - \lambda E) = 0$. Многочлен $\chi_A(\lambda) = \det(A - \lambda E)$ называется ***характеристическим многочленом*** матрицы $A$. $$ \chi_A(\lambda) = \begin{vmatrix} a_{11}-\lambda & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22}-\lambda & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}-\lambda \end{vmatrix} $$

1. Степень характеристического многочлена $\chi_{A}(\lambda)$ равна $n$. 2. Коэффициент при $\lambda^n$ в $\chi_{A}(\lambda)$ равен $(-1)^n$.

Характеристический многочлен $\chi_A(\lambda) = \det(A - \lambda E)$ по определению определителя равен: $$ \chi_A(\lambda) = \sum_{\sigma \in S_n} (-1)^{\sigma} \prod_{k=1}^n (a_{k, \sigma(k)} - \delta_{k, \sigma(k)}\lambda) $$ где $\delta_{k, \sigma(k)} = 1$ если $k = \sigma(k)$ (неподвижная точка), и $0$ иначе. Степень по $\lambda$ каждого слагаемого в сумме равна числу неподвижных точек $k_\sigma$ перестановки $\sigma$, так как $\lambda$ входит только в члены $(a_{kk} - \lambda)$ при $\sigma(k)=k$. Максимальная степень $n$ достигается только для тождественной перестановки $\sigma = e$ (все $n$ точек неподвижны, ${} k_{e}=n {}$). Соответствующее слагаемое: $$(-1)^{e} \prod_{k=1}^n (a_{kk} - \lambda) = (a_{11}-\lambda)(a_{22}-\lambda)\dots(a_{nn}-\lambda) $$ Старший член этого произведения (когда из каждой скобки берется $-\lambda$) равен $(-\lambda)^n = (-1)^n \lambda^n$. Для любой другой перестановки $\sigma \neq e$, число неподвижных точек $k_\sigma \le n-2$. (Если бы $k_\sigma = n-1$, то одна точка $j$ не неподвижна, $\sigma(j) \ne j$, а остальные $n-1$ точек неподвижны. Но для $\sigma$ быть перестановкой, $\sigma(j)$ должно быть $j$, что противоречит $\sigma(j) \ne j$. Значит $k_\sigma \ne n-1$). Следовательно, степень по $\lambda$ от слагаемых с $\sigma \neq e$ не выше $n-2$. Таким образом, $\deg \chi_A(\lambda) = n$, и коэффициент при $\lambda^n$ равен $(-1)^n$. $\square$

Значение характеристического многочлена при $\lambda = 0$ есть $\det A$, то есть $\chi_{A}(0) = \det A$.

Подставим $\lambda = 0$: $$ \chi_A(0) = \det(A - 0 \cdot E) = \det(A) $$ $\square$

Коэффициент при $\lambda^{n-1}$ в $\chi_{A}(\lambda)$ равен $(-1)^{n-1} \operatorname{tr} A$.

Коэффициент при $\lambda^{n-1}$ определяется только слагаемым, соответствующим $\sigma = e$, то есть многочленом $P(\lambda) = \prod\limits_{k=1}^n (a_{kk} - \lambda)$, так как другие слагаемые имеют степень не выше $n-2$, что было доказано в свойстве 1. Чтобы получить член с $\lambda^{n-1}$ из $P(\lambda)$, необходимо выбрать $(-\lambda)$ из $n-1$ скобок и $a_{jj}$ из одной $j$-й скобки. Суммируя по всем $j=1, \dots, n$: $$ \sum_{j=1}^n \left( a_{jj} \prod_{k \ne j} (-\lambda) \right) = \sum_{j=1}^n a_{jj} (-\lambda)^{n-1} = (-1)^{n-1} \left(\sum_{j=1}^n a_{jj}\right) \lambda^{n-1} $$ Сумма $\sum\limits_{j=1}^n a_{jj} = \operatorname{tr} A$. Следовательно, коэффициент при $\lambda^{n-1}$ равен $(-1)^{n-1} \operatorname{tr} A$. $\square$

Характеристический многочлен линейного оператора не зависит от выбора базиса.

Пусть $[A]_e$ – матрица оператора $A$ в базисе $e$, $[A]_{e'}$ – матрица в базисе $e'$, и $T$ – матрица перехода от базиса $e'$ к базису $e$. Тогда $[A]_e = T [A]_{e'} T^{-1}$. Характеристический многочлен для матрицы в базисе $e$: $$ \chi_A(\lambda) = \det([A]_e - \lambda E) $$ Подставляя выражение для $[A]_e$: $$ \det(T [A]_{e'} T^{-1} - \lambda E) = \det(T [A]_{e'} T^{-1} - \lambda T E T^{-1}) $$ $$ = \det(T ([A]_{e'} - \lambda E) T^{-1}) $$ Используя свойство $\det(XYZ) = \det X \det Y \det Z$ и $\det T^{-1} = (\det T)^{-1}$: $$ = \det T \cdot \det([A]_{e'} - \lambda E) \cdot \det T^{-1} = \det([A]_{e'} - \lambda E) $$ Это характеристический многочлен для матрицы в базисе $e'$. Таким образом, $\chi_A(\lambda)$ не зависит от выбора базиса. $\square$

Пусть $V_\lambda = \{x \in V \mid Ax = \lambda x\}$. Множество $V_\lambda$ является подпространством в $V$.

Проверим замкнутость относительно линейных комбинаций. Пусть $x_1, x_2 \in V_\lambda$ и $\alpha, \beta \in F$. Тогда $Ax_1 = \lambda x_1$ и $Ax_2 = \lambda x_2$. Рассмотрим линейную комбинацию $\alpha x_1 + \beta x_2$: $$ A(\alpha x_1 + \beta x_2) = \alpha (Ax_1) + \beta (Ax_2) \quad \text{(по линейности } A \text{)} $$ $$ = \alpha (\lambda x_1) + \beta (\lambda x_2) \quad \text{(т.к. } x_1, x_2 \in V_\lambda \text{)} $$ $$ = \lambda (\alpha x_1 + \beta x_2) $$ Следовательно, $\alpha x_1 + \beta x_2 \in V_\lambda$. Таким образом, $V_\lambda$ замкнуто относительно взятия линейных комбинаций и содержит нулевой вектор, поэтому является подпространством $V$. $\square$